Portafolio de Probabilidad y Estadística 2016-B: DICIEMBRE

CLASE Nº 13

FECHA: 2 DE DICIEMBRE DEL 2016

En esta clase rendimos la segunda prueba bimestral. Evaluación 2

CLASE Nº 14

FECHA: 7 DE DICIEMBRE DEL 2016

En esta clase lo primero que se realizo fue ejercicios de la evaluación 2

1) Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuosos (D) y no defectuosos (N). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos, lo que ocurra primero. Describa el espacio muestral para este experimento.

Solución:

S={DD, NDD, DNDD, DNDN, DNND, DNNN, NDND, NDNN, NNDD, NNDN, NNND, NNNN}

2) Sean los A,B y C tres eventos asociados con un experimento. Exprese las siguientes proposiciones verbales en notación de conjuntos.

a) al menos uno de los eventos ocurre.
b)exactamente uno de los eventos ocurre.
c)exactamente dos de los eventos ocurre.
d)no ocurre mas de dos eventos simultáneamente

3) Se realizo una encuesta en Cuenca para determinar el numero de lectores de El Mercurio y La Hora. Los resultados fueron que el 32% lee El Mercurio, el 27% lee La Hora y el 8% lee los dos.

a. Coloque la información en una tabla de doble entrada.

b. Coloque la información en un diagrama de árbol

c. Si se selecciona al azar un lector de La Hora ¿Cual es la probabilidad de que lea El Mercurio?

P(A/B)=P(A∩B)/P(B)= 0.08/0.27

d. Si se ha seleccionado un lector de El Mercurio ¿Cual es la probabilidad de que no lea La Hora?

P(B^C/A)=P(A∩B^C)/P(B^C)=0.24/0.32

EVENTOS INDEPENDIENTES

REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD

Sean A y B eventos no nulos cualquiera de S, entonces

P(A∩B) = P(A)P(B/A)

REGLA MULTIPLICATIVA DE PROBABILIDAD PUEDE EXTENDERSE A MAS EVENTOS

Regla multiplicativa para tres eventos

Sean A, B y C eventos cualquiera de S, entonces:

P(A∩B∩C) = P(A)*P(B/A)*P(C/A∩B)

Ejercicio:

- Dos jugadores de futbol realizan un disparo cada uno. Se conoce que la probabilidad de exito del primero es 0.7 mientras que la probabilidad del segundo es 0.6.

Calcule la probabilidad que:

a) Ambos jugadores tengan éxito

b) Ninguno tenga éxito

c) Al menos uno tenga éxito

PROBABILIDAD TOTAL

TEOREMA DE BAYES

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Ejercicios resueltos AQUI

Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadistica basica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE Nº 15

FECHA: 9 DE DICIEMBRE DEL 2016

En esta clase se realizaron ejercicios de probabilidad.

1) En el juego de 40 se reparten 5 cartas al azar a cada jugador a partir de un maso de 40 cartas ¿Cual es la probabilidad de que un jugador tenga?:

a) Un as, dos, tres, cuatro y cinco del mismo palo

b) Cuatro cartas del mismo palo

c) Una ronda (tres cartas iguales)

a) P(B) = P(A de cualquier palo)*P(2 mismo palo de A)*P(3 mismo palo de A)*P(4 mismo palo de A)*P(5 mismo palo de A)

=4/40*1/39*1/38*1/37*1/36=5,06x10^-8

b) P(C) = P(1 carta)*P(carta 1 igual palo)*P(carta 2 igual palo)*P(carta 3 igual palo)

= 1/40*9/39*8/38*7/37= 2,29x10^-4

c) P(D) =

2) Una empresa tiene 2 tiendas distribuidas una en el norte y otra en el sur. De los clientes se sabe que el 30% solo compra en la tienda norte, el 50% solo en la tienda sur, el 10% compra indistintamente en las 2 tiendas. Y el 10% de los consumidores no compran en ninguna de ellas.

A= El cliente compra en la tienda norte

B= El cliente compra en la tienda sur

Calcule las siguientes probabilidades

a) P(A)

b) P(AUB)

c) P(B^c)

d) P(A∩B)

e) P(A/B)

f) P(A^c∩B^c)

g) P(A∩B)^c

h) P(AUB^c)

	A	A^C
B	0.1	0.5	0.6
B^C	0.3	0.1	0.4
	0.4	0.6	1

a) P(A)= P(AUB) + P(AUB^c)=0.1+0.3=0.4

b) P(AUB)= P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0.4+0.6-0.1=0.9

c) P(B^c)= 0.9

d) P(A∩B)=0.1

e) P(A/B)= P(A∩B)/P(B) =0.1/0.6

f) P(A^c∩B^c)= 0.1

g) P(A∩B)^c = P(AUB)=0.9

h) P(AUB^c)= P(A)+P(B^c)-P(AUB^c) =0.4+0.4-0.3=0.5

3) En la intersección de una autopista, los automoviles pueden girar a la derecha D o a la izquierda I. Desde un puesto de observación se registra el sentido de la maniobra de los tres primeros vehiculos.

a) Cual es el espacio muestral del experimento

b) Sea A el suceso a lo mas de uno de los coches gira a la derecha. Sea B el suceso todos los coches giran en la misma dirección. Sea C el suceso exactamente uno de los coches gira a la derecha. ¿Qué relación existe entre los sucesos B y C?

c) Enunciar y hallar los elementos de los sucesos: B^c , BUC, A∩B, A^c∩B^c

a) S={DDD, DDI, DID, DII, IDD, IDI, IID, III}

b) A={III, IID, IDI, DII}

B={III, DDD}

C={IID, IDI, DII}

SEGUNDO BIMESTRE

CLASE Nº 1

FECHA: 14 DE DICIEMBRE DEL 2016

Variables Aleatorias Discretas.

Una variable aleatoria, X, decimos que es de tipo discreto (conteos) cuando puede tomar los valores x1, ..., xk con probabilidades P(x1), ..., P(xk).

Las variables aleatorias pueden representarse con las letras mayúsculas X, Y, ...

Para cada variable aleatoria el rango es un subconjunto de los reales.

Según el tipo de correspondencia establecida, las variables aleatorias puedes ser discretas o continuas.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Sea X= variable aleatoria discreta

Entonces P(X=x) representa la probabilidad que la variable X tome el valor x.

La correspondencia que define P(X=x) es una función y se denomina Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria X. Esta correspondencia puede definirse formalmente y ser designada con la notación f:

Propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

La gráfica es asimétrica

HISTOGRAMA DE PROBABILIDAD

Cuando los valores posibles de una variable aleatoria discreta están espaciados uniformemente, la función de masa de probabilidad se puede representar por medio de un histograma, con rectángulos centrados en los valores posibles de la variable aleatoria.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La distribución acumulada puede graficarse:

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN ACUMULADA PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

CLASE Nº 2

FECHA: 16 DE DICIEMBRE DEL 2016

MEDIA Y VARIANZA DE LAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

MEDIA

Definición

Sea x una variable aleatoria discreta con función de densidad de probabilidad p(x)=f(x) = p(X=x), la media de x esta dada por:

PROPIEDADES:

1. E(c) =c ; c=costante

2. E(x+y) = E(x) + E(y) ; x,y=v.a.d

3. E(cx) =cE(x)

4. Si y=ax+b, entonces:

E(y)=E(ax+b)

E(y)=E(ax)+E(b)

E(y)=aE(x)+b

5. Si x,y son v.a.d independientes - E(xy)=E(x)E(y)

VARIANZA

La Varianza o Variancia es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad de los valores la variable aleatoria alrededor de la media.

FORMULA PARA CALCULAR LA VARIANZA

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA V.A.D ES:

PROPIEDADES:

1. V(c)=o ; c=constante

2. V(cx)= c^2 * V(x)

3. V(x+y) = V(x) + V(y)

4. Si y=ax+b , entonces

V(y)= a^2*V(x)

TEOREMA DE CHEBYSHEV

Este teorema establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria en un intervalo alrededor de la media, independientemente de su función de probabilidad. El valor que se obtiene es únicamente una referencia.

ejemplo 1

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Las variables aleatorias continuas definen reglas de correspondencia entre los resultados obtenidos en experimentos cuyos valores se miden en una escala continua y el conjunto de los números reales.

Una variable aleatoria es continua si sus probabilidades están dadas por áreas bajo una curva. La curva se llama función de densidad de probabilidad ´por la v.a

La función de densidad de probabilidad también es llamada distribución de probabilidad.

Siempre debe cumplirse:

También se dice que x es una v.a.c si P(X=x)=0 (Probabilidad Puntual)

Si F y f son las funciones de distribución y de densidad de la v.a.c se cumple:

P(a<x<b)= F(b)-F(a)

Para mayor información revisar el siguiente LINK

Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadística básica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE Nº 3

FECHA: 21 DE DICIEMBRE DEL 2016

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Al igual que en el caso discreto se puede definir una función de probabilidad acumulada, la cual en el caso continuo se denomina función de distribución